Formule de taylor exemple

Aussi $ $ left | {e ^ zover (N + 1)! Pour voir un exemple de celui qui n`a pas de formule générale, consultez le dernier exemple de la section suivante. Dans cet exemple, contrairement aux précédents, il n`existe pas de formule simple pour la dérivée générale ou l`évaluation de la dérivée. Comme $x $ devient plus grand, l`approximation se dirige vers l`infini négatif très rapidement, car il agit essentiellement comme $ DS-x ^ 7 $. Remplacez maintenant $t = a $: $ $F (a) = sum_{n = 0} ^ N {F ^ {(n)} (a) over n! La recherche d`une formule générale pour ({f ^ {left (n right)}} left ({-4} right) ) est assez simple. Dans ce cas, nous obtenons seulement des termes qui ont un exposant impair sur (x ) et comme avec le dernier problème une fois que nous ignorons les termes zéro il ya un modèle clair et la formule. Le théorème de Taylor (en fait découvert d`abord par Gregory) indique que toute fonction satisfaisant à certaines conditions peut être exprimée sous la forme d`une série de Taylor. Remarquez que nous avons simplifié les factorielles dans ce cas. Définissez cette valeur égale à $f (x) $: $ $f (x) = sum_{n = 0} ^ N {f ^ {(n)} (a) over n! Ainsi renumérotant les termes comme nous l`avons fait dans l`exemple précédent, nous obtenons la série suivante Taylor. L`enseigne. La quantité $ | x | ^ M/M! Que faire si l`intervalle est à la place $ [1,3/2] $? Du théorème de Taylor: $ $ e ^ x = sum_{n = 0} ^ N {e ^ 2 over n! Ce sera toujours le cas lorsque nous trouvons la série Taylor d`un polynôme. Dans cet exemple, contrairement à l`exemple précédent, faire cela directement serait beaucoup plus long et plus difficile. Considérez également $F (x) $: tous les termes avec une puissance positive de $ (x-t) $ deviennent zéro lorsque nous substituons $x $ pour $t $, donc nous sommes à gauche avec $ DS F (x) = f ^ {(0)} (x)/0! À certains $z $, $F` (z) = 0 $ so $ $ eqalign{0 & = {F ^ {(N + 1)} (z) over N! Bien qu`il ne soit pas évident que l`écriture de la série Taylor pour un polynôme est utile il ya des moments où cela doit être fait. Nous verrons une belle application des polynômes de Taylor dans la section suivante.

Regardons $F` (t) $. Similitudes entre les séries de Fourier et de puissance. La série Taylor en $ (x-a) $ est la série de puissance unique en $ (x-a) $ convergeant à $f (x) $ sur un intervalle contenant $a $. Nous devons choisir $N $ pour que $ $ left | {x ^ {N + 1} over (N + 1)! Nous connaissons déjà une série Taylor pour ({{bf{e}} ^ x} ) à propos de (x = 0 ) et dans ce cas la seule différence est que nous avons un „- (x )“ dans l`exposant au lieu de juste un (x ). Supposons que (fleft (x droite) = {t_n} left (x right) + {R_n} left (x right) ). Essayez que pour le péché (x) vous-même, il vous aidera à apprendre. Cette formule se rapproche $f (x) $ près de $a $. Mensuel 103, 297-304, 1996.

Le polynôme de Taylor est juste la somme partielle de la série. Solution 2La solution précédente n`était pas trop mauvaise et nous avons souvent à faire les choses de cette manière. Prenons d`abord quelques dérivés et les évaluer à (x = 0 ). Malheureusement, il n`y a pas d`autre valeur de (x ) que nous pouvons brancher dans la fonction qui nous permettra de trouver rapidement l`un des autres coefficients. Par exemple, il y a une application à la série dans le domaine des équations différentielles où cela doit être fait à l`occasion. Il n`est peut-être pas évident que cela soit particulièrement utile; Examinons quelques exemples. Supposons $f $ a $n + $1 dérivés continus sur un intervalle ouvert contenant $a $. Mathématiques. Solution 1As avec le premier exemple, nous aurons besoin d`obtenir une formule pour ({f ^ {left (n right)}} left (0 right) ). Poursuivant ce processus, [P_n (x) = f (0) + f` (0) x + frac{f` ` (x)} {2! Ensuite, nous devrons supposer que la fonction, (fleft (x right) ), a des dérivés de chaque ordre et que nous pouvons en fait les trouver tous. C`est l`une des rares fonctions où cela est facile à faire dès le début. Si nous devions écrire la somme sans la notation de sommation ce serait clairement un nème degré polynomial.